Дробные рациональные уравнения (9 класс)

Учитель математики Климочкина Г.Н.

Цель: продолжить формирование умения решать дробно-рациональные уравнения, используя алгоритм, известный учащимся из курса 8 класса.

Ход урока

I. Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку, проверка присутствующих, общий настрой на урок.

Сегодня на уроке мне хотелось бы пригласить поглубже заглянуть в замечательный мир математики – в мир уравнений, в мир поиска, в мир исследований.

Девиз урока: Силу уму придают упражнения, а не покой. ( Александр Поуп)

Запишите: число, классная работа, тему урока «Дробные рациональные уравнения».

II. Объяснение нового материала.

Объяснение материала проводится в несколько э т а п о в.

1. И з у ч е н и е п о н я т и я дробно-рационального уравнения. Усвоение данного понятия проверяется при решении упражнения на распознавание этого вида уравнений.

З а д а н и е.

1). Какие из следующих уравнений являются дробно-рациональными? Ответ объясните.

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

2). Верно ли, что выражение обращается в нуль:

а) при х = 2; б) при х = –5; в) при х = 1.

2. У с л о в и е р а в е н с т в а д р о б и н у л ю .

При каком значении переменной дробь равна нулю?

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель при этом нулю не равен.

Х³ - 25х = 0,

Х(х² - 25) = 0,

Х = 0, х = ±5.

Если х = 0, то х² - 6х + 5 ≠ 0,

Если х = -5, то х² - 6х + 5 ≠ 0,

Если х = 5, то х² - 6х + 5 = 0.

Ответ: при х = 0, х = -5.

3. Вывод алгоритма решения дробно-рациональных уравнений. Алгоритм приведен на с. 78 учебника. (Желательно, чтобы учащиеся занесли его в тетрадь.)

3. Рассмотрение примеров решения дробно-рациональных уравнений по изученному алгоритму (пример 1 и пример 3 из учебника).

III. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. Устно (работа со слайдами):

2. Письменно:

1. № 288 (а), № 289 (а).

2. № 290 (а), № 292 (а).

3. № 291 (в).

4. № 296 (а).

IV. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Какие уравнения называются дробно-рациональными?

– Являются ли следующие уравнения дробно-рациональными:

?

– Опишите алгоритм решения дробно-рациональных уравнений.

Домашнее задание: № 289 (б), № 290 (б), № 291 (б), № 296 (б).

РЕШЕНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цели урока: Обучающая:

формирование понятия дробно- рационального уравнения; рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений; рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений. обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму; проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.

Развивающая:

развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить; развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций - анализ, синтез, сравнение и обобщение; развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;

Воспитывающая:

воспитание познавательного интереса к предмету; воспитание самостоятельности при решении учебных задач; воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока : урок – объяснение нового материала.

Ход урока

1. Организационный момент. Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений мы умеем решать? Какие нет и почему?

8.
Как называются выражения из которых составлены 5,6, 7 и 8 уравнения? (дробно-рациональными)Уравнения, в которых левая и правая части, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Попробуйте сформулировать тему нашего урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».Давайте сформулируем цели нашего урока (дети самостоятельно формулируют цели урока)А сейчас мы повторим основной теоретический материл , который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными .)

Как называется уравнение №1? (Линейное .) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа - в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель ). Как называется уравнение №3? (Квадратное. ) Способы решения квадратных уравнений. (По формулам, используя теорему Виета и ее следствия .)
Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному .)

3. Объяснение нового материала. Итак , на нашем уроке вы не просто ученики 9 класса, а представители одного из трех племен. Как вы думаете, почему я их так назвала? (правильно, потому что при решении уравнений вы будете пользоваться определенными правилами. Что же это за правила? Попробуйте мне их сформулировать:

Племя «Пропорция» будет искать решение, применяя свойство пропорции. Что такое пропорция? (Равенство двух отношений .) Сформулируйте основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов .)

Карточка 1:

ИСПОЛЬЗУЯ СВОЙСТВО ПРОПОРЦИИ

Произведение средних членов равно произведению

крайних членов пропорции.

Племя «Дробь» - применяя свойство равенства дроби нулю. Ответьте когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю .)

Карточка 2: РЕШИТЬ ДРОБНОЕ РАЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ,

на одно и то же отличное от нуля число.

Племя «Знаменатель» решает методом умножения на общий, не равный нулю знаменатель.

Карточка 3: РЕШИТЬ ДРОБНОЕ РАЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ,

УМНОЖЕНИЕМ НА ОБЩИЙ ЗНАМЕНАТЕЛЬ

Обе части уравнения можно умножить или разделить

на одно и то же отличное от нуля число.

После решения и обсуждения в группах один представитель от каждой группы выходит к доске и записывает решение уравнения на доске. / *4х ОДЗ : х≠0 х²-4=6х-4 2х³-8х=12х²-8х
х²-6х=0 2х³-12х²=0
х=0 или х=6 2х²(х-6)=0
Ответ: х=0, х=6 х=0, х=6 х²-6х=0 х=0, х=6 Ответ: х=0, х=6 4х≠ 0 х ≠0 Ответ: х=6 Если получились разные ответы, то задаю наводящие вопросы: Сравниваем ответы. Объясните, почему так получилось? Почему в одном случае два корня, в другом – один? Какие же числа являются корнями данного дробно-рационального уравнения? (До сих пор учащиеся с понятием посторонний корень не встречались, им действительно очень трудно понять, почему так получилось. Если в классе никто не может дать четкого объяснения этой ситуации, тогда учитель задает наводящие вопросы.)

Чем отличаются уравнения № 2 и 4 от уравнений № 5,6,7,8? (В уравнениях № 2 и 4 в знаменателе числа, № 5-8 – выражения с переменной .) Что такое корень уравнения? (Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство .) Как выяснить является ли число корнем уравнения? (Сделать проверку .)

При выполнении проверки некоторые ученики замечают, что приходится делить на нуль. Они делают вывод, что число 0 не является корнем данного уравнения. Возникает вопрос : что же необходимо добавить в каждый из этих способов, чтобы исключить данную ошибку? (исключить посторонние корни) ------ дописываем на доске неравенство знаменателя нулю или ОДЗ).Здесь мы столкнулись с понятием постороннего корня , т. е. это значение переменной, которое не входит в область определения дробно-рационального выражения.Давайте попробуем сформулировать алгоритм решения дробных рациональных уравнений данными способами. Рассмотрим первый способ: равенство дроби нулю. Дети сами формулируют алгоритм 1. Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

Перенести все в левую часть. Привести дроби к общему знаменателю. Составить систему: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решить уравнение. Проверить неравенство, чтобы исключить посторонние корни. Записать ответ.

Как оформить решение, если используется основное свойство пропорции?Алгоритм решения дробных рациональных уравнений. 1. Воспользоваться свойством пропорции: в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. 2. Решить полученное целое уравнение. 3. Исключить из корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель. 4. Записать ответ.Как оформить решение, если используется умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель?3. Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, не равный нулю. Решить получившееся целое уравнение. Исключить из корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель. 5. Записать ответ.

Назовите у каждого уравнения ОДЗ. Мы с вами рассмотрели три способа решения дробных рациональных уравнений. (Работа в группах. Учащиеся выбирают способ решения уравнения самостоятельно в зависимости от вида уравнения). Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь ученикам. Самопроверка: ответы записаны на доскеа) Ответ: х =1, х =б) Ответ: а=3,5в) Ответ: х = -3, х =2г) -5 – посторонний корень. Ответ: х = 5;5. Подведение итогов урока. Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными уравнениями, научились решать эти уравнения различными способами, проверили свои знания с помощью самостоятельной работы. Какой метод решения дробных рациональных уравнений, по Вашему мнению, является более легким, доступным, рациональным? Но, независимо от метода решения дробных рациональных уравнений, о чем необходимо не забывать? В чем «коварство» дробных рациональных уравнений?

Постановка домашнего задания.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Дробные рациональные уравнения Подготовила: учитель математики МОУ сош №30 имени А.И.Колдунова Кутоманова Е.М. 2010-2011 учебный год

Условие равенства дроби нулю При каком значении переменной дробь равна нулю? Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель при этом нулю не равен. х³-25х=0, х(х²-25)=0, х=0, х=±5. Если х=0, то х²-6х+5≠0, если х=-5, то х²-6х+5≠0, если х=5,то х²-6х+5=0. Ответ: при х=0, х=-5. Выполним №288(а,б)

Решим уравнение х³-25х=0, х(х²-25)=0, х=0, х=±5. Если х=0, то х²+6х+5≠0, если х=-5, то х²+6х+5=0, если х=5,то х²+6х+5 ≠ 0. Ответ: 0;5. Выполним №289(а)

Определение Дробным рациональным уравнением называют уравнение, обе части которого являются рациональными выражениями, причём хотя бы одно из них – дробным выражением. Например:

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений 1.Находим общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. 2.Умножаем обе части уравнения на этот знаменатель. 3.Решаем получившееся целое уравнение. 4.Исключаем из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель дробей. 5.Записываем ответ.

Решим уравнение: х-1 – общий знаменатель. Умножим обе части уравнения на х-1, получим 2(х-1)-(х+1)=0; 2х-2-х-1=0, х-3=0, х=3. Если х=3, то х-1=3-1=2 ≠0. Ответ:3

Решим уравнение: Решение. (х+2)(х-3) – общий знаменатель. Умножим обе части уравнения на (х+2)(х-3), получим (х-1)(х-3)=(х-4)(х+2)- (х+2)(х-3), х²-х-3х+3=х²-4х+2х-8-х²-2х+3х+6, х²-3х+5=0, D =9-20

Решим уравнение Общий знаменатель х-3. Умножим обе части уравнения на х-3, получим (х-2)(х-3)-(х-3)=0, х²-2х-3х+6-х+3=0, х²-6х+9=0, (х-3)²=0, х=3. Если х=3, знаменатель обращается в нуль, значит, х=3-посторонний корень. Ответ: корней нет

Решим уравнение Решение. Умножим обе части уравнения на х-2, получим 2х²-(3х+2)=х(х-2), 2х²-3х-2=х²-2х, 2х²-3х-2-х²+2х=0, х²-х-2=0, D =1+8=9, х=(1±3):2, х₁=-1, х₂=2. Если х=-1, х-2=-1-2=-3≠0; если х=2, то х-2=2-2=0 . Ответ: -1.

Новоселицкая МОУ СОШ №1

« Решение дробных рациональных уравнений».

Открытый урок в 9 А классе

Учитель математики Демиденко Н.Ю.

С. Новоселицкое 2015год.

Тема урока : Решение дробных рациональных уравнений .(Слайд 1)

Цели и задачи урока:

Образовательные:

закрепление понятия дробного рационального уравнения;

продолжить формирование умений решать дробные рациональные уравнения;

повторить решение линейных уравнений;

повторить решение квадратичных уравнений.

Развивающие:

развитие памяти обучающихся;

развитие умений преодолевать трудности при решении математических задач;

развитие любознательности;

развитие логического мышления, внимания, умений анализировать, сравнивать и делать выводы;

развивать интерес к предмету.

Воспитательные:

формирование таких качеств личности, как ответственность, организованность, дисциплинированность, порядочность, правдивость;

содействовать формированию системы знаний, представлений, понятий;

воспитание познавательного интереса к предмету;

воспитание самостоятельности при решении учебных задач;

воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока: закрепление изученного материала.

Форма проведения: урок-практикум.

Оборудование урока: ПК, проектор, файл MS Excel , содержащий тестовые задания, презентация.

Проверка домашнего задания

ОТВЕТЬ НА ВОПРОСЫ (Слайд 2)

сколько модулей в тесте ОГЭ? Какие это модули?

Сколько баллов нужно набрать для успешного прохождения экзамена?

Сформулируйте тему нашего урока.

«Решение уравнений» (Слайд 3)

продолжи предложение:

уравнением называется….

корнем уравнения называется…

Устный счет (Слайд 4)

1) х+3=0;

2) 3(х-7)=0 ;

3) х(х-1)(х+3)(х-9)=0;

4) х³-9х=0;

5) 7х²=0;

6) х²-5=0;

7) -7х²=28.

ПОВТОРИМ (Слайд 5)

1. Как называется данное уравнение? Сколько корней имеет данное уравнение?

2. Скажите, какой степени это уравнение? Сколько корней имеет данное уравнение?

3. Скажите, какой степени это уравнение? Сколько корней имеет данное уравнение? (х 3 – 1) 2 + х 5 – х 6 = 2

4. Как называется данное уравнение?

5. Как найти степень целого уравнения? (х 3 – 3) 2 + 5х 2 = 0

ПРОДОЛЖИТЬ ФРАЗУ (Слайд 6)

Квадратное уравнение имеет 2 корня, если……

Квадратное уравнение имеет 2 равных корня (или один корень) , если……

Квадратное уравнение не имеет корней, если……

Область допустимых значений дробно-рационального уравнения это…..

УКАЖИТЕ ОДЗ УРАВНЕНИЙ (Слайд 7)

а) 2(1-х²) +3х -4 =0;

б) х - 3 = х² - х +1 ;

4 2

в) х² - х - 7 = х +8;

г) 2х - 4 = 3__;

х² +1 х +1

д) 3х + 1 = х;

х -1

Запомни алгоритмы решения уравнений! (Слайд 8)

Уравнение y ( x ) =0 называют дробным рациональным уравнением , если выражение y ( x ) является дробным

(т.е. содержит деление на выражение с переменными). (Слайд 9)

Алгоритмы решения дробных рациональных уравнений! (Слайд 10)

Найти допустимые значения дробей, входящих в уравнение.

Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.

Решить получившееся уравнение.

5. Исключить корни, не входящие в допустимые значения дробей уравнения

Пример №1: (Слайд 11,12)

(Слайд 13) Пример № 2: Ким Вариант № 6, задание № 21

(х-2)(х 2 +8х+16) = 7(х+4)

(Слайд 14) ФИЗКУЛЬТМИНУТКА для глаз

(Слайд 15-19) Самостоятельная тестовая работа

1.Среди данных уравнений выберите то, которое не является дробным рациональным:

1) ;

2)

3) .

(3)

2.При каких значениях переменной х уравнение не имеет смысла:

1) -2;

2) -2 и -1;

3) всегда имеет смысл.

(Слайд 20) Учитель: Проверьте свой результат (на экран выводится таблица с правильными ответами).

Давайте сверим ответы с ответами на доске. На листочках ставим «+» или «-», в зависимости от правильности выполнения. Поставьте себе оценки:

все сделано правильно – «5»;

одна ошибка – «4»;

сделано две ошибки - «3»;

выполнено менее 3-х заданий – «2».

(Слайд 21) Домашнее задание

Тесты

Вариант 20-30 № 4 (уравнения)

А закончить наш урок хотелось бы словами великого ученого А.Эйнштейна: «Мне приходится делить свое время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

(Слайд 22) Самостоятельная работа