Для решения многих задач судовождения используются формулы сферической тригонометрии. На основе таких формул составляются, например, уравнения изолиний и градиентов некоторых навигационных параметров; задачи на определение места судна; определяются величины углов и сторон параллактического треугольника с целью получения координат места судна и поправки компаса методами мореходной астрономии и многого другого.

Задачей сферической тригонометрии является установление зависимостей между сторонами и углами сферического треугольника. Сферический треугольник считается заданным, если известны какие-либо три его элемента. Под решением треугольника понимают определение неизвестных его элементов. В большинстве случаев решение выполняется по так называемым основным формулам, к которым относятся:

· формула (теорема) косинуса стороны;

· формула (теорема) косинуса угла;

· формула (теорема) синусов;

· формула котангенсов, называемая так же формулой четырёх рядом лежащих элементов;

· формула пяти элементов.

В некоторых случаях возникает необходимость использования дополнительных формул, к которым относятся:

· формулы полупериметра;

· формулы Деламбра-Гаусса;

· аналогии (пропорции) Непера.

Эти группы формул имеют некоторые преимущества:

1) логарифмируются, поэтому не требуют применения таблиц сумм и разностей;

2) искомые углы получаются по самым выгодным функциям – тангенсам, т.е. дают наименьшие ошибки при вычислении угла;

3) выбор четверти искомых углов происходит уже в решении, следовательно, отпадает необходимость анализа формулы на знаки.

Формула косинуса стороны (теорема косинусов): в сферическом треугольнике косинус стороны равен произведению косинусов двух других сторон плюс произведение синусов этих сторон на косинус угла между ними.

Формула косинуса стороны связывает стороны и один из углов сферического треугольника. Всего этих формул три:

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B (3.1)

cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C

Формула косинуса угла (теорема косинусов для полярного треугольника): в сферическом треугольнике косинус угла равен отрицательному произведению косинусов двух других углов плюс произведение синусов этих углов на косинус стороны между ними.

Формула косинуса угла связывает углы и одну из сторон сферического треугольника. Всего этих формул так же три:

cos А = - cos B cos C + sin B sin C cos a

cos B = - cos A cos C + sin A sin C cos b (3.2)

cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos c

Формула котангенсов (формула четырёх рядом лежащих элементов): произведение котангенса крайнего угла на синус среднего угла равно произведению котангенса крайней стороны на синус средней стороны минус произведение косинусов средних элементов.

Формула связывает четыре элемента лежащих подряд.

ctg A sin B = ctg a sin c – cos c cos B

ctg A sin C = ctg a sin b – cos b cos C

ctg B sin A = ctg b sin c – cos c cos A (3.3)

ctg B sin C = ctg b sin a – cos a cos C

ctg C sin A = ctg c sin b – cos b cos A

ctg C sin B = ctg c sin a – cos a cos B

Формула синусов (теорема синусов): в сферическом треугольнике синусы сторон пропорциональны синусам противолежащих углов.

Аналогии Непера:

(3.5)

По аналогиям Непера в сочетании с теоремой синусов обычно производится решение двух типов задач на косоугольный сферический треугольник – когда известны две стороны и противолежащий одной из них угол, или два угла и противолежащая одному из них сторона. Как уже указывалось выше, применение этих типов формул позволяет отыскивать неизвестные элементы без применения логарифмов сумм и разностей. Однако применение только этих двух групп формул приводит к необходимости при расчёте некоторых неизвестных элементов использовать ранее найденные элементы.

Чтобы не использовать ранее найденные элементы последних двух типов задач, можно воспользоваться следующим алгоритмами:

Когда известны две стороны и противолежащий одной из них угол, например a, b, A , вычисляются вспомогательные величины G и H :

ctg G = cos A tg b

tg H = tg A cos b

sin B = sin A sin b cosec a

sin (c-G) = cos a sec b sin G (3.6)

sin (C+H) = ctg a tg b sin H

Когда известны два угла и противолежащая одному из них сторона, вычисляют вспомогательные величины K и M:

ctg K = cos a tg B

tg M = tg a cos B

После чего вычисляются неизвестные величины по формулам:

sin b = sin a sin B cosec A

sin (C-K) = cos A sec B sin K (3.7)

sin (c+M) = ctg A tg B sin M

Задачей сферической тригонометрии является решение сферического треугольника, то есть вычисление его неизвестных элементов через заданные (известные).

Известно, что для нахождения какого-либо угла или стороны треугольника необходимо, чтобы три любых других его элемента были известны (заданы).

Рассмотрим (без вывода) четыре основные теоремы сферической тригонометрии, устанавливающие необходимую аналитическую зависимость между элементами сферического треугольника.

I. Формула косинуса стороны.

Эта формула связывает между собой все три стороны и один из углов сферического треугольника. Для любого сочетания таких четырех элементов установлена зависимость, что...

«… косинус стороны сферического треугольника равняется произведению косинусов двух других сторон плюс произведение синусов тех же сторон на косинус угла между ними…».

Рис. 2.2. Сферический треугольник

Применительно к стороне а (рис. 2.2) сферического треугольника АВМ , руководствуясь теоремой косинуса стороны, можем записать:

cos a = cos b · cos m + sin b · sin m · cos A

Для сторон b и m зависимость между элементами треугольника выразится формулами:

Формула синусов применяется для вычисления одного из элементов, входящих в записанные равенства, если известны три других элемента.

III. Формула котангенсов связывает между собой четыре элемента сферического треугольника, лежащие рядом.

«… котангенс крайнего угла, умноженный на синус среднего, равняется произведению котангенса крайней стороны на синус средней без произведения косинусов средних элементов…».

АВМ (рис. 2.2) устанавливается зависимость между элементами А, m, В и а , то угол А и сторона а являются крайними, а угол В и сторона m – средними элементами, и тогда:

ctg A · sin B = ctg a · sin m - cos B · cos m

Всего для треугольника можно написать шесть таких соотношений, а именно:

Эти формулы удобны при вычислении угла по двум другим углам и стороне между ними, а также служат для нахождения стороны по трем заданным углам.

Рис. 2.3. Прямоугольный сферический треугольник

Решение прямоугольных треугольников проще, чем косоугольных, так как один из их элементов (угол 90°) всегда известен и для решения треугольника достаточно знать только два элемента.

То же самое относится и к четвертным треугольникам, в которых один из элементов (сторона 90°) всегда известен.

Если в сферическом треугольнике АВМ (рис. 2.3) заданы угол В = 90° , катет а и угол М , то для вычисления неизвестного угла А можно применить формулу косинуса угла (6.4) → cos A = sin B · sin M · cos a - cos B · cos M .

Если теперь заменить все функции угла В = 90° их значениями (sin B = 1, cos B = 0), то получим

cos A = sin M · cos a

2.3. Вычисление горизонтных координат светил по таблицам логарифмических функций мореходных таблиц «МТ-75»

При вычислении счислимой высоты (h С ) и азимута (А С ) светила по формулам сферической тригонометрии, как по натуральным значениям тригонометрических функций, так и по логарифмам, наиболее удобными являются формулы:

(2.6)

В формуле знак «~» означает, что при φ С и δ одноименных из большей величины вычитается меньшая, а при разноименных → величины φ С и δ складываются.

Значения , и табулированы так, что при вычислениях не нужно делить аргументы Z C , φ С ~δ и t M , а значения тригонометрических функций возводить в квадрат, → все эти действия выполнены в таблицах 5а (5б ) «МТ-75» (в «МТ-2000» таких таблиц нет).

Производить исследование формулы на знаки тригонометрических функций не требуется, так как оба члена ее правой части всегда положительны.

Методику вычисления горизонтных координат светил с помощью «МТ-75» рассмотрим на примере решения конкретной задачи.

Задача: Вычислить значения счислимых высоты (h C ) и азимута (А С ) светила, если:

φ С = 43°20,6′N ; δ = 17°36,7′N ; t M = 17°12,4′W .

Сферическая тригонометрия

Важным частным разделом тригонометрии, используемым в астрономии, геодезии, навигации и других отраслях, является сферическая тригонометрия, рассматривающая свойства углов между большими кругами на сфере и дуг этих больших кругов. Геометрия сферы существенно отличается от евклидовой планиметрии; так, сумма углов сферического треугольника, вообще говоря, отличается от 180°, треугольник может состоять из трёх прямых углов. В сферической тригонометрии длины сторон треугольника (дуги больших кругов сферы) выражаются посредством центральных углов, соответствующих этим дугам. Поэтому, например, сферическая теорема синусов выражается в виде:

и существуют две теоремы косинусов, двойственные друг другу.

Применение тригонометрических вычислений

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёздв астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

Существует множество областей, в которых применяются тригонометрия и тригонометрические функции. Например, метод триангуляции используется в астрономии для измерения расстояния до ближайших звезд, в географии для измерения расстояний между объектами, а также в спутниковых навигационных системах. Синус и косинус имеют фундаментальное значение для теории периодических функций, например при описании звуковых и световых волн.

Тригонометрия или тригонометрические функции используются в астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов, когда требуется сферическая тригонометрия), в морской и воздушной навигации, в теории музыки, в акустике, в оптике, в анализе финансовых рынков, в электронике, в теории вероятностей, в статистике, в биологии, в медицинской визуализации (например, компьютерная томография и ультразвук), в аптеках, в химии, в теории чисел (следовательно, и в криптологии), в сейсмологии, в метеорологии, в океанографии, во многих физических науках, в межевании и геодезии, в архитектуре, в фонетике, в экономике, в электротехнике, в машиностроении, в гражданском строительстве, в компьютерной графике, в картографии, в кристаллографии, в разработке игр и многих других областях.

Сферическая Тригонометрия в Энциклопедическом словаре:
Сферическая Тригонометрия - область математики, в которой изучаютсязависимости между сторонами и углами сферических треугольников (т. е.треугольников на поверхности сферы), образующихся при пересечении трехбольших кругов. Сферическая тригонометрия тесно связана со сферическойастрономией.

Определение «Сферическая Тригонометрия» по БСЭ:
Сферическая тригонометрия - математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами сферических треугольников (см. Сферическая геометрия). Пусть A, B, C - углы и a, b, c - противолежащие им стороны сферического треугольника ABC (см. рис.). Углы и стороны сферического треугольника связаны следующими основными формулами С. т.:

sin a sin A = sin b sin B = sin c sin C ,	(1)
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A,	(2)
cos A = − cos B cos C + sin B sin C cos a,	(21)
sin a cos B = cos b sin c - sin b cos c cos A,	(3)
sin A cos b = cos B sin C + sin B cos C cos a;	(31)

в этих формулах стороны a, b, c измеряются соответствующими центральными углами, длины этих сторон равны соответственно aR, bR, cR, где R - радиус сферы. Меняя обозначения углов (и сторон) по правилу круговой перестановки:
A → B → C → A (a → b → c → a), можно написать другие формулы С. т., аналогичные указанным. Формулы С. т. позволяют по любым трём элементам сферического треугольника определить три остальные (решить треугольник).
Для прямоугольных сферических треугольников (A = 90°, a - гипотенуза, b, c - катеты) формулы С. т. упрощаются, например:

sin b = sin a sin В,	(1′)
cos a = cos b cos c,	(2′)
sin a cos B = cos b sin c.	(3′)

Для получения формул, связывающих элементы прямоугольного сферического треугольника, можно пользоваться следующим мнемоническим правилом (правилом Непера): если заменить катеты прямоугольного сферического треугольника их дополнениями и расположить элементы треугольника (исключая прямой угол A) по кругу в том порядке, в каком они находятся в треугольнике (то есть следующим образом: В, a, C, 90° - b, 90° - c), то косинус каждого элемента равен произведению синусов неприлежащих элементов, например,
cos a = sin (90° - с) sin (90° - b)
или, после преобразования,
cos а = cos b cos с (формула 2′).
При решении задач удобны следующие формулы Деламбра, связывающие все шесть элементов сферического треугольника:
sin 1⁄2a cos 1⁄2(B−C) = sin 1⁄2A sin 1⁄2(b+c)

sin 1⁄2a sin 1⁄2(B−C) = cos 1⁄2A sin 1⁄2(b−c)

cos 1⁄2a cos 1⁄2(B+C) = sin 1⁄2A cos 1⁄2(b+c)

cos 1⁄2a sin 1⁄2(B+C) = cos 1⁄2A cos 1⁄2(b−c)
При решении многих задач сферической астрономии, в зависимости от требуемой точности, часто оказывается достаточным использование приближённых формул: для малых сферических треугольников (то есть таких, стороны которых малы по сравнению с радиусом сферы) можно пользоваться формулами плоской тригонометрии; для узких сферических треугольников (то есть таких, у которых одна сторона, например а, мала по сравнению с другими) применяют следующие формулы:

(1′″)

a cos B ≈ c−b

+

aІ 2

sinІ B tg c

.

(3′″)

С. т. возникла значительно раньше плоской тригонометрии. Свойства прямоугольных сферических треугольников, выражаемые формулами (1)-(3), и различные случаи их решения были известны ещё греческим учёным Менелаю (1 в.) и Птолемею (2 в.). Решение косоугольных сферических треугольников греческие учёные сводили к решению прямоугольных. Азербайджанский учёный Насирэддин Туей (13 в.) систематически рассмотрел все случаи решения косоугольных сферических треугольников, впервые указав решение в двух труднейших случаях. Основные формулы косоугольных сферических треугольников были найдены арабским учёным Абу-ль-Вефа (10 в.) [формула (1)], немецким математиком И. Региомонтаном (середина 15 в.) [формулы типа (2)], французским математиком Ф. Виетом (2-я половина 16 в.) [формулы типа (21)] и Л. Эйлером (Россия, 18 в.) [формулы типа (3) и (31)]. Эйлер (1753 и 1779) дал всю систему формул С. т. Отдельные удобные для практики формулы С. т. были установлены шотландским математиком Дж. Непером (конец 16 - начало 17 вв.), английским математиком Г. Бригсом (конец 16 - начало 17 вв.), русским астрономом А. И. Лекселем (2-я половина 18 в.), французским астрономом Ж. Деламбром (конец 18 - начало 19 вв.) и др.
Лит. см. при ст. Сферическая геометрия.
Рис. к ст. Сферическая тригонометрия.

Для части наших клиентов покупка ювелирных изделий на заказ – выгодное вложение в семейный капитал, в стабильное будущее детей и внуков. Для других клиентов, особенно прекрасных дам, эксклюзивные украшения – это еще один способ подчеркнуть свой стиль, красоту и завидный общественный статус. Для мужчин – вариант продемонстрировать избраннице любовь и внимание.

Г.П. Матвиевская Сферика и сферическая тригонометрия в древности и на средневековом востоке / Развитие методов астрономических исследований. Вып.8, Москва-Ленинград, 1979

Г.П. Матвиевская

Сферика и сферическая тригонометрия в древности и на средневековом востоке

1. В древности и в средние века потребности астрономии служили важнейшим стимулом развития многих отраслей, математики и прежде всего сферической тригонометрии, которая представляла собою математический аппарат для решения конкретных астрономических задач. По мере развития астрономии, усложнения ее проблем и повышения требований к точности вычислений этот аппарат постепенно совершенствовался и соответственно обогащалось содержание сферической тригонометрии. Она излагалась и в астрономических трактатах - как вводный раздел астрономии, - и в специальных математических трудах.

Особое значение для истории сферической тригонометрии имеют древнегреческие сочинения о сферике - науке, которая включала элементы астрономии, геометрии на сфере и тригонометрии. Уже к IV в. до н. э. она получила полное развитие и рассматривалась как вспомогательная астрономическая дисциплина. Наиболее ранние известные сейчас труды по сферике были написаны в период IV в. до н. э. - I в. н. э. такими выдающимися учеными древности, как Аутолик, Евклид, Теодосий, Гипсикл, Менелай.

Эти сочинения позволяют наглядно познакомиться с начальным этапом развития сферической тригонометрии,.

Все результаты, полученные греками в области астрономии и тригонометрии, были, как известно, обобщены во II в. в труде Птолемея, озаглавленном «Математическое собрание в 13 книгах». Позднее, вероятно, в III в., он был назван «великой» книгой, откуда в средние века и произошло ставшее общепринятым название «Альмагест»: так произносилось на латинском языке слово «ал-маджисти» - арабизированная форма от «мегисте» (самая великая).

В противоположность «великой» книге Птолемея сочинения его предшественников, необходимые для астрономических вычислений и объединенные в поздне-эллинистический период (не позднее IV в.) в один сборник, получили название «Малой астрономии». Их следовало изучать после «Начал» Евклида, чтобы можно было понять «Альмагест» . В арабской литературе поэтому они фигурируют под названием «средних книг» (кутуб ал-мутавассита).

К этому сборнику относятся труды Евклида «Данные», «Оптика», «Феномены» и псевдоевклидова «Катоптрика», сочинения Архимеда («О шаре и цилиндре», «Измерение круга», «Леммы»), Аристарха («О величинах и расстояниях Солнца и Луны»), Гипсикла («О восхождении созвездий по эклиптике»), Аутолика («О движущейся сфере», «О восходе и заходе неподвижных звезд»), Теодосия («Сферика», «О днях и ночах», «О жилищах») и Менелая («Сферика»). Сочинение Менелая было добавлено к «Малой астрономии», возможно, в более позднее время.

Арабский перевод «средних» книг и, в том числе, сочинений о сферике появился в числе первых переводов трудов классиков греческой науки. Позднее они неоднократно комментировались. Среди переводчиков и комментаторов можно назвать таких выдающихся ученых, как Коста ибн Лука (IX в.), ал-Махани (IX в.), Сабит ибн Корра (X в.), Ибн Ирак (X-XI вв.), Насир ад-Дин ат-Туси (XIII в.) и др.

К греческой «Малой астрономии» восточные ученые добавили позже сочинения «Об измерении фигур» Бану Муса, «Данные» и «Книгу о полном четырехстороннике» Сабита ибн Корры», «Трактат о полном четырехстороннике» Насир ад-Дина ат-Туси .

Необходимость глубокого знакомства со «средними» книгами хорошо сознавалась восточными математиками и астрономами и подчеркивалась даже в XVII в. в широко известной библиографической энциклопедии Хаджжи Халифы «Снятие покрывала с названий книг и наук». Текст этих трактатов, а также комментариев к ним сохранился в многочисленных арабских рукописях. К ним относится, например, не изучавшийся еще никем рукописный сборник, хранящийся в Государственной Публичной библиотеке им. M. Е. Салтыкова-Щедрина в Ленинграде (собрание Ханыкова, № 144).

Еще в 1902 г. известный историк математики А. Бьёрнбо с сожалением отмечал, что слишком мало уделяется внимания той области античной науки, которую можно определить, как «введение в астрономию» и которая отражена в «средних» книгах . В особенности он настаивал на необходимости полноценного критического издания текста сочинений и поставил в связи с этим вопрос об изучении их арабских версий. Большая заслуга в исследовании «малой астрономии» принадлежит самому А. Бьёрнбо, а также Ф. Гульчу, И.Л. Гейбергу, П. Таннери, А. Чвалине, Ж. Можене и др. Однако и до сих пор в указанном направлении сделано еще далеко не все. Это касается особенно «средних» книг в арабской интерпретации.

Ученые восточного средневековья нередко делали существенные дополнения к греческим трудам, предлагали свои, собственные доказательства теорем, а иногда вносили в античную теорию новые идеи. С этой точки зрения большого внимания заслуживают арабские версии трудов, посвященных сферике. Особенно важным представляется изучение комментариев к сочинению Менелая, составленных Абу Насром ибн Ираком и Насир ад-Дином ат-Туси и сыгравших значительную роль в истории сферической тригонометрии.

2. Наиболее древними из дошедших до нас сочинений о сферике - и, вообще, из математических сочинений греков - являются трактаты Аутолика из Питаны (ок. 310 г. до н. э.) «О вращающейся сфере» и «О восходах и заходах». Оба они касаются вопросов геометрии на сфере в применении к астрономии.

Аутолик изучает сферу, вращающуюся вокруг оси, и круговые сечения на ней: большие круги, проходящие через оба полюса, малые круги, полученные при сечении сферы плоскостями, перпендикулярными к оси, и большие круги, проходящие наклонно к ней. Движение точек этих кругов рассматривается по отношению к некоторой фиксированной секущей плоскости, проходящей через центр. Легко увидеть здесь модель небесной сферы с небесными меридианами, параллелями, экватором, эклиптикой и горизонтом. Изложение, однако, ведется чисто геометрическим языком и астрономические термины не применяются.

В сочинении «О движущейся сфере», содержащем 12 предложений, Аутолик вводит понятие равномерного движения («точка движется равномерно, если за равные времена она проходит равные, пути») и применяет это понятие к вращающейся сфере. Он показывает прежде всего, что точки ее поверхности, не лежащие на оси, при равномерном вращении описывают параллельные круги с теми же полюсами, что и у сферы, и с плоскостями, перпендикулярными оси (предложение 1). Далее доказано, что за равное время все точки поверхности описывают подобные дуги (предложение 2) и обратно, т. е. если две дуги параллельных кругов пройдены за равное время, то они подобны (предложение 3).

Введя понятие горизонта - большого круга, который отделяет видимую для наблюдателя, находящегося в центре сферы, часть этой сферы от невидимой, - Аутолик рассматривает движение точек поверхности по отношению к нему. Исследуются различные возможные положения горизонта, когда он перпендикулярен к оси, проходит через полюсы и наклонен к оси. В первом случае (который имеет место на земном полюсе) ни одна точка поверхности сферы при равномерном вращении не будет восходящей или заходящей; все точки видимой части всегда остаются видимыми, а все точки невидимой части - невидимыми (предложение 4).

Во втором случае, имеющем место на экваторе земли, все точки поверхности сферы восходят и заходят, находясь одинаковое время над горизонтом и под ним (предложение 5).

Наконец, в последнем - общем - случае горизонт касается двух равных параллельных кругов, из которых лежащий у видимого полюса всегда видим, а другой всегда невидим (предложение 6). Точки поверхности, находящиеся между этими кругами восходят и заходят, причем всегда проходят через одни и те же точки горизонта, двигаясь по кругам, перпендикулярным к оси и наклонным к горизонту под одним и тем же углом (предложение 7). Каждый большой круг, фиксированный на поверхности сферы, который касается тех же параллельных кругов, что и горизонт, при вращении сферы совпадет с горизонтом (предложение 8). Кроме того, установлено, что если горизонт расположен наклонно к оси, то из двух точек, восходящих одновременно, заходит позже та, которая ближе к видимому полюсу: если же две точки заходят одновременно, то расположенная ближе к видимому полюсу восходит раньше.

Показав далее, что в случае, когда горизонт расположен наклонно к оси, большой круг, проходящий через полюсы сферы (т. е. меридиан), за время ее оборота дважды окажется перпендикулярным к горизонту (предложение 10), Аутолик формулирует и доказывает теорему (предложение 11), в которой по существу рассматривается эклиптика. Речь идет о том, каким образом восход и заход точек, лежащих на этом большом круге, зависит от его положения относительно горизонта. Доказано, что если оба они наклонены к оси, причем эклиптика касается двух параллельных между собой и перпендикулярных к оси кругов на сфере, больших, чем те, которых касается горизонт, то точки эклиптики всегда будут иметь свои восходы и заходы на отрезке горизонта, лежащем между параллельными кругами, касательными к эклиптике.

В последнем предложении утверждается: если фиксированный круг на поверхности сферы всегда делит пополам другой круг, вращающийся вместе со сферой, причем оба не перпендикулярны к оси и не проходят через полюсы, то они являются большими кругами.

Трактат Аутолика «О восходах и заходах», состоящий из двух книг, базируется на рассмотренном сочинении. В нем описано движение неподвижных звезд (книга 1), причем особое внимание уделяется двенадцати созвездиям, расположенным на; эклиптике (книга II). Выясняется, когда восходят и заходят звезды, имеющие различное положение на небесной сфере, и при каких обстоятельствах они являются видимыми или невидимыми.

Сочинения Аутолика о сферике, носившие характер элементарных учебников, не теряли актуальности ни в древности ни в средние века. Содержание трактата «О движущейся сфере» изложил в 6-ой книге своего «Математического собрания» Папп Александрийский (III в. н. э.). О значительности роли Аутолика в развитии науки писали в VI в. Симпликий и Иоанн Филопон. Греческий текст обоих его сочинений полностью сохранился до наших дней.

На арабский язык труды Аутолика были переведены в IX- начале X вв. в числе первых греческих сочинений, вызывавших интерес восточных ученых. Перевод трактата «О движущейся сфере» с греческого оригинала осуществил известный переводчик Исхак ибн Хунайн (ум. 910/911 гг.). Его современник астроном, философ и врач Куста ибн Лука ал-Баалбаки (ум. в 912 г.) перевел трактат «О восходах и заходах» . Эти переводы тогда же были пересмотрены знаменитым математиком и астрономом Сабитом ибн Коррой (ум. в 901 г.). Позднее, в XIII в. сочинения Аутолика прокомментировал выдающийся ученый, глава Марагинской обсерватории Насир ад-Дин ат-Туси (1201 - 1274) .

В Европе арабские версии трудов Аутолика стали известны в XII в. К этому времени относится латинский перевод трактата «О движущейся сфере», выполненный крупнейшим средневековым переводчиком Герардо Кремонским (1114-1187 гг.).

Греческий текст сочинений Аутолика, сохранившийся в нескольких рукописях X-XV вв., привлек внимание ученых в XVI в., когда в Европе под влиянием идей гуманизма началось внимательное изучение античного научного наследия. Впервые латинский; перевод обоих трактатов с греческого оригинала был опубликован в энциклопедии итальянского просветителя Георгия Баллы (G. Valla, ок. 1447-1500) в 1501 г., а затем - в сборнике древних сочинений о сферике, который издал в 1558 г. в Мессине Франческо Мавролико (F. Maurolico, 1494-1575) .

Активная работа по изданию математических и астрономических трудов древних авторов велась в этот период во Франции, где она была начата по инициативе одного из видных деятелей французского Возрождения, страстного пропагандиста античной науки П. Рамуса (P. Ramus, Pierre de la Ramée, 1515-1572); Ему было посвящено первое греческое издание сочинений Аутолика, осуществленное Конрадом Дасиподием (Dasypodius, Conrad Rauchfuss, 1532-1600) ; оно вышло в 1572 г. в Страсбурге вместе с латинским переводом. Другой ученик Рамуса П. Форкадель (Pierre Forcadel, ок. 1520-1574) издал в 1572 г. французский перевод обоих трактатов Аутолика.

В 1587-1588 гг. появилось еще одно латинское издание, выполненное И. Ауриа (I. Auria) по нескольким греческим рукописям из библиотеки Ватикана, а в 1644 г. М. Мерсенн (М. Мегsenn, 1588-1648) опубликовал в сокращенном виде латинский перевод сочинений Аутолика в числе других греческих трудов по математике и астрономии .

Полное критическое издание греческого текста трактатов Аутолика вместе с латинским переводом было осуществлено в 1855 г. Ф. Гульчем . Оно явилось основой немецкого перевода А. Чвалины, вышедшего в 1931 г.

Наконец, новое издание греческого текста, основанное на доскональном изучении всех сохранившихся рукописей, предпринял Ж. Можене в 1950 г. ; тексту предпослано основательное исследование истории европейских изданий трудов Аутолика. В 1971 г. в Бейруте был опубликован английский перевод этого текста, вызвавший, однако, серьезную критику О. Нейгебауера.

Сочинения Аутолика привлекают внимание многих историков астрономии и математики. Изучается как теория Аутолика, так и текст его сочинений. Показано, например, что две книги, составляющие «О восходах и заходах», являются, по всей вероятности, двумя версиями одного и того же сочинения.

Наименее изученными до сих пор остаются арабские версии трактатов Аутолика, входивших в число «средних книг», хотя они существуют в многочисленных рукописях, хранящихся в разных библиотеках Европы и Азии.

3. Во второй половине IV в. до н. э., появилось еще одно сочинение о сферике, близкое по содержанию к трудам Аутолика и написанное его младшим современником Евклидом, прославленным автором «Начал» . В этом трактате, озаглавленном «Феномены», Евклид во многом повторяет предшественника, но связь сферики с практической астрономией выражена у него гораздо явственней.

«Феномены» Евклида состоят из 18 предложений. В первом сформулировано лежащее в основе геоцентрической системы мира утверждение о том, что Земля принимается за центр вселенной. Поскольку положение наблюдателя на земной поверхности следует считать произвольным, то из этого утверждения следует, что по отношению ко всей вселенной Земля рассматривается, как точка, в которой расположен наблюдатель.

Повторив во 2-м и 3-м предложениях седьмую теорему Аутолика из трактата «О движущейся сфере» Евклид переходит к изучению восходов и заходов знаков зодиака - 12 созвездий, расположенных на эклиптике, т. е. каждой из двенадцати дуг, эклиптики, равных 30° и условно соответствующих этим созвездиям. Он доказывает (предложение 4), что если эклиптика не пересекается с наибольшим из всегда видимых кругов на небесной сфере, т. е. если широта места наблюдения меньше 66°, то созвездия, восходящие первыми, заходят также первыми; если же она пересекается с ним, т. е. если широта места наблюдения больше 66°, то созвездия, расположенные севернее, восходят раньше и заходят позже, чем те, которые находятся южнее (предложение 5). Таким образом, особенности восхода и захода созвездия зависят от широты места наблюдения, т. е. от величины угла между осью мира и горизонтом.

Показав далее, что восходы и заходы звезд, расположенных на противоположных концах диаметра эклиптики, противоположны друг другу (предложение 6) Евклид разъясняет одиннадцатую теорему из трактата «О движущейся сфере» Аутолика: звезды, расположенные на эклиптике, при своих восходах и заходах пересекают часть горизонта, заключенную между тропиками, причем это пересечение происходит в постоянных точках (предложение 7).

Затем он доказывает, что равные между собой дуги знаков зодиака восходят и заходят на неравных дугах горизонта, тем больших, чем ближе к точкам равноденствия они расположены; при этом дуги, одинаково удаленные от экватора, восходят и заходят на равных дугах горизонта (предложение 8).

Следующие теоремы касаются продолжительности восходов и заходов различных знаков зодиака. Сначала установлено, что время, необходимое для восхода половины эклиптики, будет различным в зависимости от положения исходной точки отсчета (предложение 9). Это соответствует утверждению о различной продолжительности дня и ночи в разные сезоны года, когда Солнце находится в разных знаках зодиака. Затем рассматривается время, необходимое для восхода и захода равных и противоположных знаков зодиака.

Решение вопросов, затронутых Евклидом, было чрезвычайно важно для древних астрономов, так как оно касалось методов определения часа дня и ночи, установления календаря и т. д.

4. Таким образом, в рассмотренных сочинениях Аутолика и Евклида излагались основы древнегреческой сферики - как теоретической, так и практической. Однако оба автора следовали какому-то более раннему образцу, так как привели ряд предложений относительно сферы без доказательства, считая, по-видимому, их известными. Возможно, что автором такого общепризнанного в то время труда о сферике был великий математик и астроном Евдокс Книдский (ок. 408-355 гг. до н. э.) .

Об этом утерянном сочинении сейчас судят по «Сферике» Теодосия, написанной позднее, но, несомненно, повторяющей в основном его содержание.

5. Относительно времени жизни и биографии Теодосия существуют различные мнения, опирающиеся на часто противоречивые сообщения древних историков, которые ошибочно объединяли в одном лице нескольких деятелей, носивших это имя. В настоящее время установлено, что автор «Сферики» происходил из Битинии, а не из Триполи, как считалось раньше и было указано в заглавиях многих изданий его трудов. Жил он, по всей вероятности, во 2-ой половине II в. до н. э., хотя его обычно называли современником Цицерона (ок. 50 г. до н. э.).

Кроме «Сферики», в греческом оригинале сохранились еще два сочинения Теодосия, также входившие в число «средних книг». Наибольший трактат «О жилищах» включает 12 предложений и посвящен описанию звездного неба с точки зрения наблюдателей, находящихся на разных географических широтах. Во втором трактате, озаглавленном «О днях и ночах» и состоящем из двух книг, рассматривается дуга эклиптики, которую проходит солнце за один день, и исследуются условия, необходимые, например, для того, чтобы при равноденствиях день и ночь действительно равнялись друг другу.

Эти сочинения изучались и комментировались многими арабскими учеными, а в Европе привлекли внимание в XVI в., когда были обнаружены их греческие рукописи. Первый из них издал в латинском переводе в 1558 г. Ф. Мавролико вместе с рядом других сочинений о сферике , а затем в 1572 г. К Дасиподий опубликовал греческие и латинские формулировки теорем из этого трактата в упоминавшейся выше книге. В том же 1572 г. вышел французский перевод сочинения Теодосия в версии Дасиподия, выполненный П. Форкаделем. Следующие латинские издания были осуществлены в 1587 г. (И. Ауриа) и в 1644 г. (М, Мерсенн) . Полный греческий текст трактата «О жилищах» вместе с латинским переводом был опубликован только в 1927 г. Р. Фехтом. В том же издании впервые воспроизводится также оригинальный текст сочинения «О днях и ночах» и его латинский перевод. Ранее оно было известно благодаря опубликованным в 1572 г. К. Дасиподием формулировкам предложений на греческом и латинском языках и полному латинскому переводу в издании И. Ауриа.

Наибольшую славу из трудов Теодосия снискала его «Сферика», занимающая важное место в истории астрономии, сферической тригонометрии и неевклидовой геометрии.

Теодосий подробно изучает свойства линий на поверхности сферы, получаемых при сечении ее различными плоскостями. Следует подчеркнуть, что сферический треугольник у него еще не фигурирует. Сочинение построено по образцу «Начал» Евклида и состоит из трех книг. Первая книга, включающая 23 предложения, начинается с шести определений. Сфера определяется как «телесная фигура, ограниченная одной поверхностью, так что все прямые линии, падающие на нее из одной точки лежащей внутри фигуры, равны между собой», т. е. аналогично тому, как определен круг в «Началах» (книга I, 15-е определение) ; интересно отметить, что сам Евклид в книге XI «Начал» определяет сферу по-иному - как тело, образованное вращением полукруга вокруг неподвижного диаметра (книга XI, 14-е определение). Далее дано определение центра сферы, ее оси и полюсов. Полюс круга, проведенного на сфере, определяется как. такая точка на поверхности сферы, что все прямые, проведенные через нее к окружности круга, равны между собою. Наконец, шестое определение касается кругов на сфере, равноудаленных от ее центра: согласно Теодосию, это такие круги, что перпендикуляры, проведенные из центра сферы к их плоскостям, равны между собою.

Предложения книги 1 достаточно элементарны: доказано; в частности, что любое сечение сферы плоскостью есть круг, что прямая, проведенная из центра сферы к центру кругового сечения, перпендикулярна плоскости этого сечения, что сфера и плоскость имеют одну точку касания и т. д.

Вторая книга «Сферики» Теодосия начинается определением двух кругов на сфере, касающихся друг друга, и содержит 23 предложения о свойствах кругов, наклонных друг к другу.

Третья книга состоит из 14 предложений, более сложных, чем предшествующие, и относящихся к системам параллельных и пересекающихся кругов на сфере. Здесь выясняется служебная роль сферики по отношению к астрономии, хотя все теоремы сформулированы и доказаны чисто геометрически.

«Сферику» Теодосия внимательно изучали и в древности ив средние века. Ее комментировал Папп Александрийский (III в.) в 6-й книге своего «Математического собрания». В VI в. Иоанн Филопон, рассматривая сочинения о сферике Евклида, Аутолика и Теодосия, отмечает, что последний дает наиболее общее абстрактное изложение предмета, полностью отвлекаясь от реальных астрономических объектов. Аутолик, по его мнению, рассматривает более частный случай, так как «даже если автор не имеет в виду никакого конкретного объекта, то благодаря объединению сферической фигуры и движения он приближается к реальности». Наиболее же специальный вопрос трактуется в «Феноменах» Евклида, так как объекты, изучаемые астрономией - небо, солнце, звезды, планеты - вполне реальны.

На арабский язык «Сферику» Теодосия впервые перевел в IX в. Куста ибн Лука ал-Баалбаки; его перевод, доведенный до 5-го предложения II книги, был завершен Сабитом ибн Коррой ал-Харрани.

Существуют многочисленные комментарии к этому, как и к другим сочинениям Теодосия, составленные восточными учеными XIII-XV вв. , среди которых можно назвать таких крупных математиков и астрономов, как Насир ад-Дин ат-Туси (1201 - 1274), Йахья ибн Мухаммед ибн Аби Шукр Мухи ад-Дин ал-Магриби (ум. ок. 1285 г.), Мухаммад ибн Ма"руф ибн Ахмад Таки ад-Дин (1525/1526-1585) и др.

Обработка «Сферики» Теодосия, принадлежащая представителю знаменитой Марагинской научной школы XIII в. Мухи ад-Дину ал-Магриби, была исследована и частично переведена на французский язык Б. Kappa де Во . В этом трактате обращает на себя внимание астрономическая терминология, которая применяется при изложении и доказательстве теорем Теодосия. Таким образом, здесь еще более явственно, чем в греческом оригинале выступает связь сферики с астрономией, что и объясняет ее актуальность для восточной науки.

В Европе «Сферика» Теодосия стала известна в XII в., когда появились два латинских перевода этого сочинения с его арабской версии. Они были выполнены выдающимися переводчиками, работавшими в Испании, Герардо Кремонским и Платоном из Тиволи. Перевод последнего был опубликован в 1518 г. в Венеции, впоследствии переиздан в 1529 г. в редакции И. Фогелина (I. Voegelin, ум. в 1549 г.), а в 1558 г. - упоминавшейся книге Ф. Мавролико .

Греческий текст «Сферики» впервые издал в 1558 г. Ж. Пена вместе с латинским переводом. Это издание позволило выяснить отличие арабской версии сочинения Теодосия от оригинала и установить, какие дополнения и изменения в доказательстве теорем внесли восточные ученые. Однако греческая рукопись, которой пользовался Пена, страдала многими недостатками. Поэтому в 1707 г. в Оксфорде И. Хант (I. Hunt) предпринял новое улучшенное издание, внеся некоторые исправления по другим рукописям. Впоследствии греческий текст сочинения (также с латинским переводом) переиздавался еще дважды: в 1862 г. Э. Ницце и в 1927 г. И. Гейбергом .

Начиная со 2-й половины XVI в., стали появляться сокращенные и адаптированные издания «Сферики» на латинском языке, в которых теоремы разъяснялись с помощью новых математических понятий и с использованием сферической тригонометрии. В 1586 г. в Риме вышло издание X. Клавия (Ch. Clavius), a в XVII в. за ним последовало несколько других, в том числе издания М. Мерсенна (1644 г.) и И. Барроу (1675 г.) Последнее содержит полный, хотя и весьма свободный, латинский перевод «Сферики» с подробными доказательствами, в которых широко используется алгебраическая символика.

В 1826 г. «Сферика» была опубликована в немецком переводе Э. Ницце. Второе немецкое издание сочинения осуществил в 1931 г. А. Чвалина (вместе с трактатами Аутолика). Первый французский перевод «Сферики», выполненный Д. Генрионом (D. Henrion), вышел в 1615 г., следующий, принадлежащий Ж.Б. Дюгамелю (J. В. Du Hamel), - в 1660 г.; наконец, в 1927 г. появился современный перевод П. Вер Эеке (P. Ver Eecke).

Исследованию текста и содержания «Сферики» Теодосия посвящены работы многих историков математики (А. Нокк,. И. Гейберг, Ф. Гульч, П. Таннери, А. Бьернбо и др.) Изучались, в частности, многочисленные схолии к этому сочинению, составленные в III-VII в. и сохранившиеся в греческих рукописях более позднего времени, рассматривалось взаимоотношение между «Сферикой» Теодосия и «Феноменами» Евклида и другими трудами древних авторов . Результаты этих исследований позволили выяснить ряд вопросов, касающихся истории математики и астрономии, а также биографий Евклида, Аутолика, Теодосия и некоторых комментаторов их сочинений.

6. К греческим трудам о сферике по содержанию близко небольшое сочинение Гипсикла из Александрии (жил между 200 и 100 гг. до н. э.), озаглавленное «О восхождении созвездий по эклиптике» («Анафорик»). Гипсикл известен прежде всего как автор трактата о правильных многогранниках, включенного в «Начала» Евклида в качестве XIV книги; другое его сочинение- о многоугольных числах, - которое не сохранилось, цитируется в «Арифметике» Диофанта.

В трактате «О восхождении созвездий на эклиптике», состоящем из шести предложений, решается задача об определении времени, которое требуется для восхода или захода каждого знака зодиака, занимающего 1 / 12 часть эклиптики, или «градуса», т. е. 1 / 30 части эклиптики. Она играла важную роль в астрологических рассуждениях и пользовалась поэтому большой популярностью в древности и в средние века. Задача разрешима средствами сферической тригонометрии, но Гипсикл, не располагавший еще такими средствами, решил ее приближенно, применяя известные ему теоремы о многоугольных числах. В этом сочинении впервые встречается подразделение окружности круга на 360 частей, чего не было у его предшественников и, в частности, у Аутолика.

Трактат Гипсикла относился к числу «средних книг» и был переведен на арабский язык в IX в. Существует немало рукописей этого перевода, однако он долго оставался не исследованным и точно не было установлено, выполнил его Куста ибн Лука, ал-Кинди или Исхак ибн Хунайн. На латынь арабскую версию сочинения перевел в XII в. Герардо Кремонский.

Критическое издание греческого оригинала и латинского перевода Герардо Кремонского осуществил в 1888 г. К. Манициус. Второе издание, вышедшее в 1966 г., включает греческий текст, схолии и перевод В. Де Фалко, арабский текст и немецкий перевод М. Краузе, а также вводную статью О. Нейгебауера .

7. Из всех древних сочинений о сферике наибольшую роль в истории науки сыграла «Сферика» Менелая, работавшего в Александрии в I в. н. э. и обобщившего все результаты, которые были получены в этой области до него. В его сочинении не только изложена геометрия на сфере, но впервые введен сферический треугольник, последовательно доказаны теоремы, служившие базой сферической тригонометрии, и создана теоретическая основа для тригонометрических вычислений .

Сведения о жизни Менелая крайне скудны. Известно, что в 98 г. он производил астрономические наблюдения в Риме. «Сферика», его основное произведение, в греческом оригинале не сохранилась и известна лишь по средневековым арабским переводам.

«Сферика» состоит из трех книг и построена по образцу «Начал» Евклида. Прежде всего вводятся определения основных понятий, в том числе понятия сферического треугольника, которое не встречается в более ранних греческих трудах. Значительная часть сочинения посвящена исследованию свойств этой фигуры.

При доказательстве предложений о свойствах линий и фигур на сфере он опирается на определения и теоремы из «Сферики» Теодосия. Во 2-й книге эти теоремы, а также предложения, сформулированные в астрономической форме в «Феноменах» Евклида и «Анафорике» Гипсикла, систематизированы и снабжены новыми строгими доказательствами.

Особенно важную роль в истории тригонометрии сыграло 1-е предложение книги III, известное под названием «теоремы Менелая» (а также «теоремы о полном четырехстороннике», «правила шести величин», «теоремы о трансверсалях»). По выражению А. Браунмюля, она явилась «фундаментом всей сферической тригонометрии греков».

Теорема Менелая для плоского случая формулируется следующим образом: пусть даны взаимно пересекающиеся прямые AB, AC, BE и CD, образующие фигуру ACGB (рис.1); тогда имеют место соотношения:

СЕ / АЕ = СG / DG * DB / AB, CA / AE = CD / DG * GB / BE

Для сферического случая в теореме фигурируют, как было принято в греческой тригонометрии, хорды удвоенных дуг. Если дана фигура ACGB (рис. 2), образованная дугами больших кругов на поверхности сферы, то справедливы соотношения:

хорда(2СЕ) / хорда(2АЕ) = хорда(2CG) / хорда(2DG) * хорда(2DB) / хорда(2АВ)

хорда(2АС) / хорда(2АЕ) = хорда(2CD) / хорда(2DG) * хорда(2GB) / хорда(2ВЕ)

Менелай доказал также несколько других теорем, имеющих основополагающее значение для развития сферической тригонометрии. К ним относится так называемое «правило четырех величин» (2-е предложение книги III); если даны два сферических треугольника ABC и DEG (рис. 3), у которых соответственно равны (или составляют в сумме 180°) углы А и D, С и G, то

хорда (2АВ) / хорда (2ВС) = хорда (2DE) / хорда (2EG)

Третье предложение III книги «Сферики» Менелая, получившее впоследствии название «правила тангенсов», гласит; что если даны два прямоугольных сферических треугольника ABC и DEG (рис. 4), у которых

хорда (2АВ) / хорда (2АС) = хорда (2ED) / хорда (2GD) * хорда (2ВН) / хорда (2ЕТ)

ЛИТЕРАТУРА

1. Гейберг И.Л. Естествознание и математика в классической древности. Перевод с нем. С.П. Кондратьева под ред. с предисл. А.П. Юшкевича, М-Л., ОНТИ, 1936.

2. Sаrtоn G. Appreciation of ancient and medieval science during the Renaissance, Philadelphia, 1953.

3 Steinschneider M. Die "mittleren" Bücher der Araber und ihre Bearbeiter, "Zeitschr. für Math. u. Phys.", Bd 10, 1.865, 456-498.

4. Suter H. Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke, "Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss.", N. 10, Leipzig, 1900.

5. Björnbo A. Studien über Menelaus Sphärik. Beiträge zur Geschichte der Sphärik und Trigonometrie der Griechen, "Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss.", H. 14, Leipzig, 1902.

6. Mogenet J. Autolycos de Pitane. Histoire du texte, suivie de l"édition critique des traités de la Sphère en mouvement et des levers et couchers, Louvain, 1950.

7. Theodosii Shpaericorum elementorum Libri III. Ex traditione Mauro-lyci... Menelai Sphaericorum lib. III. Ex traditione eiusdem. Maurolyci, Sphàericorum libri II. Autolyci. De sphaera quae movetur liber. Theodosii. De habitationibus. Euclidis Phaenomena brevissime demonstrata. Demonstratio et praxis trium tabellarum scilicet sinus recti, foecundae, et beneficae ad spheraiia triangula pertinentum. Compendium mathematicae mira brevitate ex clarissimis authoribus. Maurolyci de sphaera sermo. Messanae, 1558.

8. Mersenne M. Universae geometriae mixtaeque mathematicae synopsis, Parisiis, 1644.

9. Autо1yсi. De Sphaera quae movetur liber. D.e ortibus et occasibus libri duo, ива cum scholiis antiquis о libris manuscriptis edidit, latina interpretatione et commentariis instruxit F. Hultsch, Leipzig, 1885.

10. Euclidis. Opera omnia. Ed. J. L. Heiberg et H. Menge, t. VIII. Phaenomena et scripta musica, Leipzig, 1916.

11. Tannery P. Recherches sur l"histoire sur l"astronomie ancienne, Paris, 1893.

12. Carra de Vaux B. Notice sur deux manuscrits arabes. I. Remaniement des sphériques de Théodose par labia ibn Muhammad ihn Abi Schukr Almaghribi Aiandalusî, "Journal asiatique", 8-e sér., t. 17, 1894, 287-295..

13. Theodosius Tripolites. Sphaerica. Hrsg, von J. L. Heiberg, "Abhandl. d. G.es. d. Wissenschaften zu Göttihgen", phil. hist, Klasse, N. F., Bd 19, No 3, Berlin, 1927.

14. Hypsikles Die Aufgangszeiten der Gestirne, hrsg. und übers, von V. De Falco und M. Krause. Einführung von O. Neugebauer, "Abhandl. d. Akademie d. Wiss. zu Göttingen", phil-hist. Kl., F. 3, No 62, Göttingen, 1966.

15. Krause M. Die Sphärik von Menelaos von Alexandrien in der Verbesserung von Abu Nasr Mansur b. Ali b. Iraq mit Untersuchungen zur Geschichte des Textes bei den islamischen Mathematikern, Berlin, 1936.

Примечания

Экземпляр этого редкого издания имеется в Библиотеке им. В.И. Ленина.

Экземпляр имеется в Библиотеке АН СССР.